Extending the parking space

The action of the symmetric group Sn on the set Parkn of parking functions of size n has received a great deal of attention in algebraic combinatorics. We prove that the action of Sn on Parkn extends to an action of Sn+1. More precisely, we construct a graded Sn+1-module Vn such that the restriction of Vn to Sn is isomorphic to Parkn. We describe the Sn-Frobenius characters of the module Vn in all degrees and describe the Sn+1-Frobenius characters of Vn in extreme degrees. We give a bivariate generalization V (`,m) n of our module Vn whose representation theory is governed by a bivariate generalization of Dyck paths. A Fuss generalization of our results is a special case of this bivariate generalization. Résumé. L’action du groupe symétrique Sn sur l’ensemble Parkn des fonctions de stationnement de longueur n a reçu beaucoup d’attention dans la combinatoire algébrique. Nous démontrons que l’action de Sn sur Parkn s’étend à une action de Sn+1. Plus précisément, nous construisons un gradué Sn+1-module Vn telles que la restriction de Sn est isomorphe à Parkn. Nous décrivons la Sn-Frobenius caractères des modules Vn à tous les degrés et décrivent le Sn+1-Frobenius caractères de Vn en degrés extrêmes. Nous donnons une généralisation bivariée V (`,m) n de notre module Vn dont la représentation théorie est régi par une généralisation bivariée des chemins de Dyck. Une généralisation Fuss de nos résultats est un cas particulier de cette généralisation bivariée.